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MATLAB基础学习之数值积分(一次函数定积分)

liebian365 2025-03-24 17:48 2 浏览 0 评论

数值积分的实现:

(一)比较quad与quadl函数的差别

基于自适应辛普森方法:[I,n]=quad(filename,a,b,tol,trace)

基于自适应Gauss-Lobatto方法:[I,n]=quadl(filename,a,b,tol,trace)

其中,filename是被积函数名;a和b分别是定积分的下限和上限,积分限[a,b]必须是有限的,不能为无穷大(inf);tol用来控制积分精度,默认时取tol=10-6;trace控制是否展现积分过程,若取非0展现积分过程,取0则不展现,默认时取trace=0;返回参数I即定积分的值,n为被积函数的调用次数。

例:分别用quad函数和quadl函数求定积分的近似值,并在相同的积分精度下,比较被积函数的调用次数。

在命令行输入如下指令:

>> format long

>> f=@(x)4./(1+x.^2);

>> [I,n]=quad(f,0,1,1e-8)

I =

3.141592653733437

n =

61


>> [I,n]=quadl(f,0,1,1e-8)

I =

3.141592653589806

n =

48

可见,quadl的计算精度要高,而且计算次数更少。

(二)基于全局自适应积分方法

l=integral(filename,a,b)

其中,l是计算得到的积分;filename是被积函数;a和b分别是定积分的下限和上限,积分限可以为无穷大 。

例:求定积分

首先定义函数:

function f = fe(x )

f=1./(x.*sqrt(1-log(x).^2));

end

然后在命令窗口输入

>> I=integral(@fe,1,exp(1))

I =

1.5708


(三)基于自适应高斯-克兰罗德方法

[I,err]=quadgk(filename,a,b)

其中,err返回近似误差范围,其他参数的含义和用法与quad函数相同。积分上下限可以是无穷大(-inf或inf),也可以是复数。如果积分上下限是复数,则quadgk函数在复平面上求积分。

(四)trapz函数

trapz函数采用梯形积分法则,积分的近似值为:

其中hi=xi+1-xi。

可用以下语句实现:

sum(diff(x).*(y(1:end-1)+y(2:end))/2)

例:设x=1:6,y=[6,8,11,7,5,2],用trapz函数计算定积分。

在M文件中编辑如下代码:

x=1:6;

y=[6,8,11,7,5,2];

plot(x,y,'-ko')

grid on

axis([1,6,0,11])

I1=trapz(x,y)

I2=sum(diff(x).*(y(1:end-1)+y(2:end))/2)

得到结果:

I1 = 35

I2 = 35


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